7.3 KB · ⇊ 3 parts · ⤓ Micron 7.3 KB · ⤓ HTML 47.1 KB

top

Der quaternionisch-hyperbolische Raum ist in der Mathematik ein mit Hilfe von Quaternionen definierter negativ gekrümmter symmetrischer Raum.

• Definition

• Siegel-Modell

• Geometrie

• Isometrien und Quasi-Isometrien

• Quaternionisch-hyperbolische Mannigfaltigkeiten

• Weblinks

• Quellen

Seien H {\displaystyle \mathbb {H} } die Quaternionen und sei H n , 1 {\displaystyle \mathbb {H} ^{n,1}} der H {\displaystyle \mathbb {H} } -Vektorraum H n + 1 {\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}} mit der Quaternionisch-hermiteschen Form

⟨ ⟨ U , V ⟩ ⟩ = − − u n + 1 v ¯ ¯ n + 1 + ∑ ∑ j = 1 n u j v ¯ ¯ j {\displaystyle \langle U,V\rangle =-u_{n+1}{\overline {v}}_{n+1}+\sum _{j=1}^{n}u_{j}{\overline {v}}_{j}}

für U = ( u 1 , … … , u n + 1 ) , V = ( v 1 , … … , v n + 1 ) {\displaystyle U=(u_{1},\ldots ,u_{n+1}),V=(v_{1},\ldots ,v_{n+1})} . (Hierbei ist die quaternionische Konjugation definiert durch a + b i + c j + d k ¯ ¯ := a − − b i − − c j − − d k {\displaystyle {\overline {a+bi+cj+dk}}:=a-bi-cj-dk} für reelle Zahlen a,b,c,d.)

Der n-dimensionale quaternionisch-hyperbolische Raum H H n {\displaystyle \mathbb {H} H^{n}} ist

H H n = { X ∈ ∈ H n , 1 : ⟨ ⟨ X , X ⟩ ⟩ = − − 1 } {\displaystyle \mathbb {H} H^{n}=\left\{X\in \mathbb {H} ^{n,1}:\langle X,X\rangle =-1\right\}}

mit der von der Hermiteschen Form ⟨ ⟨ . , . ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle .,.\rangle } induzierten Riemannschen Metrik.

Eine äquivalente Definition erhält man mit dem Siegel-Modell.cite-ref-1[1] Hier benutzt man die quaternionisch-hermitesche Form ⟨ ⟨ U , V ⟩ ⟩ = u ¯ ¯ 1 v n + 1 + u ¯ ¯ 2 v 2 + … … + u ¯ ¯ n v n + u ¯ ¯ n + 1 v 1 {\displaystyle \langle U,V\rangle ={\overline {u}}_{1}v_{n+1}+{\overline {u}}_{2}v_{2}+\ldots +{\overline {u}}_{n}v_{n}+{\overline {u}}_{n+1}v_{1}} , betrachtet das Bild von V − − := { U ∈ ∈ H n + 1 : ⟨ ⟨ U , U ⟩ ⟩ < 0 } {\displaystyle V_{-}:=\left\{U\in \mathbb {H} ^{n+1}:\langle U,U\rangle <0\right\}} unter der Projektion auf den projektiven Raum π π : H n + 1 → → P H n {\displaystyle \pi :\mathbb {H} ^{n+1}\rightarrow P\mathbb {H} ^{n}} und definiert H H n := π π ( V − − ) ⊂ ⊂ P H n {\displaystyle \mathbb {H} H^{n}:=\pi (V_{-})\subset P\mathbb {H} ^{n}} .

H H n {\displaystyle \mathbb {H} H^{n}} ist ein symmetrischer Raum vom Rang 1.

Für die Schnittkrümmung von Ebenen im H H n {\displaystyle \mathbb {H} H^{n}} gilt die Ungleichung − − 4 ≤ ≤ K ≤ ≤ − − 1 {\displaystyle -4\leq K\leq -1} . Ebenen in R H n ⊂ ⊂ H H n {\displaystyle \mathbb {R} H^{n}\subset \mathbb {H} H^{n}} haben Schnittkrümmung − − 1 {\displaystyle -1} , während die Ebene C H 1 ⊂ ⊂ H H 1 ⊂ ⊂ H H n {\displaystyle \mathbb {C} H^{1}\subset \mathbb {H} H^{1}\subset \mathbb {H} H^{n}} die Schnittkrümmung − − 4 {\displaystyle -4} hat.

Die Isometriegruppe des H H n {\displaystyle \mathbb {H} H^{n}} ist P S p ( n , 1 ) = S p ( n , 1 ) / { ± ± 1 } {\displaystyle PSp(n,1)=Sp(n,1)/\left\{\pm 1\right\}} , dabei ist S p ( n , 1 ) {\displaystyle Sp(n,1)} die Lie-Gruppe

S p ( n , 1 ) = { A ∈ ∈ G L ( n + 1 , H ) : ⟨ ⟨ A U , A V ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ U , V ⟩ ⟩ ∀ ∀ U , V ∈ ∈ H n , 1 } = G L ( n + 1 , H ) ∩ ∩ U ( 2 n , 2 ) {\displaystyle Sp(n,1)=\left\{A\in GL(n+1,\mathbb {H} ):\langle AU,AV\rangle =\langle U,V\rangle \forall U,V\in \mathbb {H} ^{n,1}\right\}=GL(n+1,\mathbb {H} )\cap U(2n,2)} .

Alle Quasi-Isometrien des H H n {\displaystyle \mathbb {H} H^{n}} haben endlichen Abstand von einer Isometrie.cite-ref-2[2]

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt quaternionisch-hyperbolisch, wenn ihre universelle Überlagerung isometrisch zum H H n {\displaystyle \mathbb {H} H^{n}} ist.

• Jean-François Quint: An overview of Patterson-Sullivan theory pdf

• Gongopadhyay, Parsad: Classification of quaternionic hyperbolic isometries pdf

cite-note-11. ↑ Inkang Kim, John R. Parker: Geometry of quaternionic hyperbolic manifolds. In: Cambridge Philosophical Society: Mathematical Proceedings, 135 (2003), no. 2, 291–320. ISSN 0305-0041 pdf

cite-note-22. ↑ Pierre Pansu: Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un. In: Annals of Mathematics, (2) 129 (1989), no. 1, 1–60. ISSN 0003-486Xpdf